Điều kiện để hàm số có đạo hàm tại 1 điểm
$f"(x_0)=undersetxlớn x_0mathoplyên ổn ,fracf(x)-f(x_0)x-x_0$=$undersetDelta xlớn 0mathoplim ,fracDelta yDelta x$ (Dx = x – x0, Dy = f(x0 + Dx) – f(x0))
Nếu hàm số y = f(x) tất cả đạo hàm trên x0 thì nó liên tục tại điểm đó.Bạn đang xem: Điều kiện để hàm số có đạo hàm tại 1 điểm
quý khách hàng vẫn xem: điều kiện để hàm số tất cả đạo hàm ở 1 điểm
2. Đạo hàm phía trái, bên phải
. .Hệ quả : Hàm có đạo hàm tại và đồng thời .
3. Đạo hàm trên khoảng, bên trên đoạn
$ullet $ Hàm số có đạo hàm (giỏi hàm khả vi) trên nếu nó bao gồm đạo hàm trên đa số điểm nằm trong $ullet $ Hàm số gồm đạo hàm (tuyệt hàm khả vi) trên \!! ext > trường hợp nó có đạo hàm tại đa số điểm trực thuộc đôi khi trường thọ đạo hàm trái và đạo hàm nên .4. Mối liên hệ thân đạo hàm với tính liên tục
$ullet $ Nếu hàm số tất cả đạo hàm tại thì liên tục tại .Crúc ý: Định lí trên chỉ với ĐK nên, có nghĩa là một hàm hoàn toàn có thể tiếp tục tại điểm nhưng mà hàm đó không tồn tại đạo hàm trên .
B. Bài tập
I. bài tập minch họa
Câu 1. Giới hạn (nếu như tồn tại) như thế nào tiếp sau đây dùng để làm tư tưởng đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại. B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số trên một điểm thì biểu thức ở câu trả lời C đúng.
Chọn C.
Câu 2. Cho hàm số $fleft( x ight)$ liên tiếp tại . Đạo hàm của $fleft( x ight)$ trên là
A. $fleft( x_0 ight)$.
B. .
C. (nếu trường thọ giới hạn).
D. (nếu như trường thọ giới hạn).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Định nghĩa tốt (nếu mãi mãi giới hạn).
Câu 3. Cho hàm số $y=f(x)$tất cả đạo hàm tại $x_0$ là . Khẳng định như thế nào sau đây sai?
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
A. Đúng (theo định nghĩa đạo hàm trên một điểm).
B. Đúng vì
C. Đúng do
Đặt
Câu 4. Số gia của hàm số ứng cùng với và bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có $Delta y=fleft( x_0+Delta x ight)-fleft( x_0 ight)=left( x_0+Delta x ight)^3-2^3=x_0^3+left( Delta x ight)^3+3x_0Delta xleft( x_0+Delta x ight)-8$.
Với và $Delta x=1$ thì $Delta y=19$.
Câu 5. Tỉ số của hàm số heo x và là
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
II. Những bài tập tự luyện
Câu 1. Số gia của hàm số ứng với số gia của đối số x tại là
A. B. .> C. .> D.
Câu 2. Cho hàm số , đạo hàm của hàm số ứng cùng với số gia của đối số x tại x0 là
A. B.
C. D.
Câu 3. Cho hàm số
Xét hai mệnh đề sau:
(I) .
(II) Hàm số không tồn tại đạo hàm trên .
Mệnh đề làm sao đúng?
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Cả nhì hồ hết không đúng. D. Cả nhị đông đảo đúng.
Câu 4. Tính đạo hàm
tại điểm $x_0=1$.
A. $frac13$ B. $frac15$ C. $frac12$ D. $frac14$
Câu 5. Tính đạo hàm
. Lúc kia là kết quả nào sau đây?
A. $frac14.$ B. $frac116.$ C. $frac132.$ D. Không lâu dài.
Câu 7. Cho hàm số . lúc kia là kết quả nào sau đây?
A. Không trường tồn. B. 0 C. 1. D. 2.
Câu 8. Cho hàm số
. Để hàm số này còn có đạo hàm tại $x=2$ thì quý hiếm của b là
A. $b=3.$ B. $b=6.$ C. $b=1.$ D. $b=-6.$
Câu 9. Số gia của hàm số ứng cùng với x và là
A. B. C. D.
Câu 10. Xét cha mệnh đề sau:
(1) Nếu hàm số bao gồm đạo hàm trên điểm hì tiếp tục trên điểm đó.
(2) Nếu hàm số liên tiếp tại điểm thì gồm đạo hàm tại đặc điểm này.
(3) Nếu gián đoạn trên thì chắc hẳn rằng không tồn tại đạo hàm trên điểm này.
Trong bố câu trên:
A. Có hai câu đúng cùng một câu không đúng. B. Có một câu đúng với hai câu sai.
C. Cả tía phần đa đúng. D. Cả bố đầy đủ sai.
Câu 11. Xét hai câu sau:
(1) Hàm số liên tục tại
(2) Hàm số có đạo hàm tại
Trong hai câu trên:
A. Chỉ gồm (2) đúng. B. Chỉ tất cả (1) đúng. C. Cả hai đầy đủ đúng. D. Cả nhì số đông không nên.
Câu 12. Cho hàm số . Xét nhị câu sau:
(2). Hàm số trên tiếp tục trên .
Trong hai câu trên:
A. Chỉ tất cả (1) đúng. B. Chỉ bao gồm (2) đúng. C. Cả nhì phần đông đúng. D. Cả hai số đông sai.
Câu 13. Tìm nhằm hàm số
trên $x_0=0$
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
Câu 17. Tính đạo hàm $f(x)=fracx$ tại $x_0=-1$.
A. 2 B. 0 C. 3 D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải:
Câu 1.
Chọn A
Với số gia của đối số x trên Ta có
Câu 2.
Chọn B
Ta có :
Nên
Vậy
Câu 3.
Chọn B.
call là số gia của đối số tại 0 làm thế nào để cho > 0.
Ta bao gồm .
Nên hàm số không tồn tại đạo hàm trên 0.
Câu 4.
Chọn C.
$undersetx o 1mathopllặng ,fracf(x)-f(1)x-1=undersetx o 1mathoplim ,fracsqrtx^3-2x^2+x+1-1(x-1)^2=undersetxlớn 1mathoplyên ổn ,fracxsqrtx^3-2x^2+x+1+1=frac12$
Vậy $f"(1)=frac12$.
Câu 5.
Chọn D.
Ta có $undersetx o lớn 1^+mathoplyên ,f(x)=undersetx o lớn 1^+mathoplyên ,left( 2x+3 ight)=5$
$undersetx o 1^-mathoplyên ,f(x)=undersetx o lớn 1^-mathoplyên ổn ,fracx^3+2x^2-7x+4x-1=undersetxlớn 1^-mathopllặng ,(x^2+3x-4)=0$
Dẫn cho tới $undersetxkhổng lồ 1^+mathoplim ,f(x) e undersetx o lớn 1^-mathoplim ,f(x)Rightarrow $ hàm số ko liên tiếp trên $x=1$ đề nghị hàm số không tồn tại đạo hàm tại $x_0=1$.
Câu 6.
Chọn B
Ta tất cả
Câu 7.
Chọn A.
Ta bao gồm bắt buộc .
Do đề nghị không lâu dài.
Câu 8.
Chọn B
Ta có
tất cả đạo hàm tại $x=2$ Khi còn chỉ lúc liên tục trên $x=2$
Câu 9.
Chọn A
Ta có
Câu 10.
Chọn A
(1) Nếu hàm số bao gồm đạo hàm trên điểm hì tiếp tục trên đặc điểm này. Đây là mệnh đề đúng.
(2) Nếu hàm số thường xuyên tại điểm thì gồm đạo hàm trên điểm này.
Phản ví dụ
Lấy hàm ta có đề nghị hàm số tiếp tục bên trên .
Nhưng ta có
Nên hàm số không tồn tại đạo hàm tại .
Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai.
(3) Nếu ngăn cách tại thì chắc chắn là không có đạo hàm tại điểm này.
Vì (1) là mệnh đề đúng yêu cầu ta gồm không thường xuyên trên thì tất cả đạo hàm trên đặc điểm đó.
Vậy (3) là mệnh đề đúng.
Câu 11.
Chọn B
Ta có :
Vì giới hạn 2 bên không giống nhau cần không lâu dài giới hạn của Khi .
Vậy hàm số không có đạo hàm tại
Câu 12.
Chọn B.
Ta bao gồm
+) $undersetxlớn 0^+mathopllặng ,fleft( x ight)=undersetx o lớn 0^+mathopllặng ,left( x^2+x ight)=0$.
+) $undersetxlớn 0^-mathoplyên ,fleft( x ight)=undersetxlớn 0^-mathopllặng ,left( x^2-x ight)=0$.
+) $fleft( 0 ight)=0$.
$Rightarrow undersetx o 0^+mathopllặng ,fleft( x ight)=undersetx o lớn 0^-mathopllặng ,fleft( x ight)=fleft( 0 ight)$. Vậy hàm số thường xuyên trên $x=0$.
Mặt khác:
+) $f"left( 0^+ ight)=undersetxkhổng lồ 0^+mathopllặng ,fracfleft( x ight)-fleft( 0 ight)x-0=undersetxkhổng lồ 0^+mathopllặng ,fracx^2+xx=undersetxlớn 0^+mathoplyên ổn ,left( x+1 ight)=1$.
+) $f"left( 0^- ight)=undersetxlớn 0^-mathoplim ,fracfleft( x ight)-fleft( 0 ight)x-0=undersetxlớn 0^-mathoplyên ,fracx^2-xx=undersetxlớn 0^-mathoplyên ,left( x-1 ight)=-1$.
$Rightarrow f"left( 0^+ ight) e f"left( 0^- ight)$. Vậy hàm số không có đạo hàm tại $x=0$.
Câu 13.
Chọn D
Ta có:;
Hàm bao gồm đạo hàm trên thì hàm liên tục tại (1)
(Do)
Hàm bao gồm đạo hàm tại x = 1
Câu 14.
Chọn A
Hàm số thường xuyên trên $x=1$ nên Ta bao gồm
Hàm số bao gồm đạo hàm trên $x=1$ nên giới hạn hai bên của cân nhau cùng Ta có
Vậy $a=1;b=-frac12$
Câu 15 .
Chọn A
Ta có: $undersetxkhổng lồ 0mathoplyên ,fracf(x)-f(0)x=undersetx o 0mathoplyên ,xsin frac1x=0$
Vậy $f"(0)=0$.
Câu 16.
Chọn A
Ta gồm $undersetxkhổng lồ 0^+mathoplim ,f(x)=undersetxkhổng lồ 0^+mathoplyên ổn ,fracsin ^2xx=undersetx o 0^+mathoplyên ổn ,left( fracsin xx.sin x ight)=0$
$undersetxlớn 0^-mathoplim ,f(x)=undersetxlớn 0^-mathoplim ,left( x+x^2 ight)=0$ cần hàm số liên tiếp tại $x=0$
$undersetx o lớn 0^+mathoplyên ổn ,fracf(x)-f(0)x=undersetxlớn 0^+mathoplyên ổn ,fracsin ^2xx^2=1$ cùng
$undersetx o 0^-mathoplim ,fracf(x)-f(0)x=undersetxkhổng lồ 0^-mathoplyên ổn ,fracx+x^2x=1$
Vậy $f"(0)=1$.
Câu 17.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta bao gồm hàm số tiếp tục trên $x_0=-1$ cùng
$fracf(x)-f(-1)x+1=frac x+1 ightx(x+1)$
Nên $undersetx o -1^+mathoplim ,fracf(x)-f(-1)x+1=undersetxkhổng lồ -1^+mathoplyên ,fracx^2+2x+1x(x+1)=0$
$undersetx o -1^-mathopllặng ,fracf(x)-f(-1)x+1=undersetxlớn -1^-mathoplyên ổn ,fracx^2-1x(x+1)=2$
Do đó $undersetx o -1^+mathopllặng ,fracf(x)-f(-1)x+1 e undersetx o lớn -1^-mathopllặng ,fracf(x)-f(-1)x+1$
Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm trên điểm $x_0=-1$.
Nhận xét: Hàm số $y=f(x)$ tất cả đạo hàm trên $x=x_0$ thì bắt buộc liên tiếp trên đặc điểm này.
